Lý thuyết

Cơ sở

Một tập hợp các vector \( B = \{v_1, v_2, \dots, v_n\} \) trong không gian vector \( V \) được gọi là một cơ sở của \( V \) nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

  • i) \( B \) là một hệ độc lập tuyến tính.
  • ii) \( B \) sinh ra \( V \) hay \( B \) là hệ sinh (tức là \( \text{span}(B) = V \)).

Nhận xét: Nếu \( B \) là một cơ sở của \( V \), thì mọi vector \( v \in V \) đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector trong \( B \).

Ví dụ: Hệ vector \( E = \{e_1 = (1, 0); e_2 = (0, 1)\} \) là cơ sở của không gian vector \( \mathbb{R}^2 \). Cơ sở này được gọi là cơ sở chính tắc của không gian vector \( \mathbb{R}^2 \).

Thật vậy, \( \forall x \in \mathbb{R}^2 : x = (a, b) \). Khi đó,

\( x = (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = ae_1 + be_2. \)

Suy ra, \( E \) là hệ sinh và từ phương trình tổ hợp tuyến tính:

\( \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 = (0, 0) \Leftrightarrow \lambda_1(1, 0) + \lambda_2(0, 1) = (0, 0) \Rightarrow \begin{cases} \lambda_1 = 0 \\ \lambda_2 = 0 \end{cases} \)

nên hệ \( E \) độc lập tuyến tính. Vậy \( E \) là cơ sở của \( \mathbb{R}^2 \)

Từ cách kiểm chứng trên, ta thu được:

  • \( - \) \( E = \{e_1 = (1, 0, 0); e_2 = (0, 1, 0); e_3 = (0, 0, 1)\} \) là cơ sở chính tắc của không gian vector \( \mathbb{R}^3 \).
  • \( - \) \( E(t) = \{x_1(t) = t^2; x_2(t) = t; x_3(t) = 1\} \) là cơ sở chính tắc của không gian vector \( \mathcal{P}_2[t] \).
  • \( - \) \( \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\} \) là cơ sở chính tắc của không gian vector \( \mathcal{M}_2 \).

Hỏi cơ sở chính tắc của không gian vector \( \mathcal{P}_3[x] \) là gì?

Số chiều

Nếu không gian vector \( V \) có một cơ sở gồm \( n \) vector, thì \( n \) được gọi là số chiều của \( V \), ký hiệu là

\( \dim(V) = n \)

Quy ước: Nếu \( V = \{\mathbf{0}\} \), ta quy ước \( \dim(V) = 0 \). Nếu \( V \) không có cơ sở hữu hạn, \( V \) được gọi là không gian vô hạn chiều.

Nhận xét: Mọi cơ sở của một không gian vector hữu hạn chiều đều có cùng số lượng vector.

Cho \( V \) là không gian vector \( n \)-chiều (\( n \ge 1 \)). Khi đó ta có các tính chất quan trọng sau:

  • i) Mọi hệ độc lập tuyến tính trong \( V \) có tối đa \( n \) vector.
  • ii) Mọi hệ sinh của \( V \) có ít nhất \( n \) vector.
  • iii) Một hệ gồm đúng \( n \) vector trong \( V \) sẽ là cơ sở nếu nó thỏa mãn một trong hai điều kiện: hoặc là hệ độc lập tuyến tính, hoặc là hệ sinh.

Ví dụ: Tìm hạng và cơ sở của hệ \( S = \{u_1 = (1, 2, -1), u_2 = (2, 4, -2), u_3 = (1, 0, 1), u_4 = (2, 2, 0)\} \)

Lời giải

Cách 1: Xếp vector theo dòng

Lập ma trận \( A \) với các dòng là các vector của hệ \( S \). Biến đổi \( A \) về dạng bậc thang:

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{\substack{d_2 = d_2 - 2d_1 \\ d_3 = d_3 - d_1 \\ d_4 = d_4 - 2d_1}} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{d_2 \leftrightarrow d_3} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{d_4 - d_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Kết luận:

  • Hạng của hệ: \( r(S) = 2 \) (số dòng khác không).
  • Cơ sở của không gian sinh bởi \( S \) là các dòng khác không:
    \( B = \{(1, 2, -1), (0, -2, 2)\} \) và \( \dim(B) = 2 \)

Cách 2: Xếp vector theo cột (Tìm cơ sở là tập con của S)

Lập ma trận \( A \) với các cột là các vector \( u_1, u_2, u_3, u_4 \). Biến đổi \( A \) về dạng bậc thang:

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 0 & 2 \\ -1 & -2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{\substack{d_2 - 2d_1 \\ d_3 + d_1}} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{d_3 + d_2} \begin{pmatrix} \color{red}{1} & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & \color{red}{-2} & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Kết luận:

  • Hạng của hệ: \( \rho(S) = 2 \).
  • Nhận thấy các phần tử khác 0 đầu tiên của mỗi hàng nằm ở cột 1 và cột 3. Do đó, ta chọn các vector tương ứng ở vị trí này trong hệ ban đầu làm cơ sở:
    \( B = \{u_1, u_3\} = \{(1, 2, -1), (1, 0, 1)\} \)

Ví dụ: Tìm cơ sở và số chiều của không gian con \( W \subset \mathbb{R}^4 \) xác định bởi hệ phương trình:

\( \begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\ x_2 + x_4 = 0 \end{cases} \)
Lời giải

Cách 1: Biểu diễn nghiệm tổng quát

Từ phương trình (2) ta có \( x_2 = -x_4 \). Thế vào phương trình (1) ta được \( x_1 = x_3 - x_2 = x_3 + x_4 \).

Khi đó, mọi vector \( u \in W \) đều có dạng tổng quát:

\( u = (x_3 + x_4, -x_4, x_3, x_4) = x_3 \cdot (1, 0, 1, 0) + x_4 \cdot (1, -1, 0, 1) \)

với \( x_3, x_4 \) là các tham số tự do.

Vậy một cơ sở của \( W \) là \( B = \{(1, 0, 1, 0), (1, -1, 0, 1)\} \) và số chiều của \( W \) là \( \dim(W) = 2 \).

Cách 2: Sử dụng ma trận hệ số (Tìm hệ nghiệm cơ bản)

Xét ma trận hệ số \( A \) của hệ phương trình:

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Ta thấy \( r(A) = 2 \). Suy ra số chiều của không gian nghiệm là:

\( \dim(W) = n - r(A) = 4 - 2 = 2 \)

Vì các phần tử khác 0 đầu tiên của mỗi hàng nằm ở cột 1 và cột 2 nên \( x_3, x_4 \) là các biến tự do. Ta xây dựng một hệ nghiệm cơ bản bằng cách gán giá trị lần lượt cho cặp \( (x_3, x_4) \) là \( (1, 0) \) và \( (0, 1) \):

  • Với \( x_3 = 1, x_4 = 0 \), thay vào hệ ta được: \( x_2 = 0, x_1 = 1 \Rightarrow v_1 = (1, 0, 1, 0) \).
  • Với \( x_3 = 0, x_4 = 1 \), thay vào hệ ta được: \( x_2 = -1, x_1 = 1 \Rightarrow v_2 = (1, -1, 0, 1) \).

Vậy hệ vector \( B = \{v_1, v_2\} \) là một cơ sở của \( W \).

Ví dụ: Trong không gian \( \mathbb{R}^3 \), cho hệ vector \( B = \{u_1 = (1, 2, 1), u_2 = (1, 1, 2), u_3 = (2, 1, 1)\} \). Chứng minh \( B \) là một cơ sở của \( \mathbb{R}^3 \).

Lời giải

Vì hệ \( B \) có 3 vector và \( \dim(\mathbb{R}^3) = 3 \), để chứng minh \( B \) là cơ sở, ta chỉ cần chứng minh \( B \) là hệ ĐLTT.

Cách 1: Biện luận hạng của ma trận

Lập ma trận \( A \) với các cột là các vector của hệ \( B \). Biến đổi sơ cấp đưa về dạng bậc thang:

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{\substack{d_2 - 2d_1 \\ d_3 - d_1}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{d_3 + d_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix} \)

Ta thấy hạng của ma trận \( r(A) = 3 \) (bằng số vector của hệ). Suy ra, hệ \( B \) độc lập tuyến tính.

Vậy \( B \) là một hệ ĐLTT tối đại trong \( \mathbb{R}^3 \), do đó \( B \) là một cơ sở của \( \mathbb{R}^3 \).

Cách 2: Định thức

Xét định thức của ma trận \( A \) tạo bởi các vector cột:

\( \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 2) - 1(2 - 1) + 2(4 - 1) = -1 - 1 + 6 = 4 \)

Vì \( \det(A) = 4 \neq 0 \) nên hệ vector \( B \) ĐLTT. Mặt khác, do hệ \( B \) gồm 3 vector ĐLTT trong \( \mathbb{R}^3 \) nên \( B \) là một hệ ĐLTT tối đại.

Vậy \( B \) là một cơ sở của \( \mathbb{R}^3 \).

Sắp ra mắt

Video trực quan đang trong quá trình biên tập.
Hệ thống sẽ cập nhật trong thời gian tới.

Bài tập

Bài 1. Trong các trường hợp sau, chứng minh hệ \( B \) là một cơ sở của không gian vector tương ứng:
  • a) Trong \( \mathbb{R}^2 \), với hệ \( B = \{(2, 1), (1, 1)\} \).
  • b) Trong \( \mathbb{R}^2 \), với hệ \( B = \{(1, 2), (3, 4)\} \).
  • c) Trong \( \mathbb{R}^2 \), với hệ \( B = \{u_1 = (1, 2), u_2 = (3, 7)\} \).
  • d) Trong \( \mathbb{R}^3 \), với hệ \( B = \{(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)\} \).
  • e) Trong \( \mathbb{R}^3 \), với hệ \( B = \{(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)\} \).
  • f) Trong \( \mathbb{R}^3 \), với hệ \( B = \{u_1 = (2, 1, -3), u_2 = (3, 2, -5), u_3 = (1, -1, 1)\} \).
  • g) Trong \( \mathbb{R}^3 \), với hệ \( B = \{u_1 = (1, -1, 0), u_2 = (1, 0, -1), u_3 = (2, 0, 0)\} \).
  • h) Trong \( \mathbb{R}^3 \), với hệ \( B = \{(1, 2, 3), (2, 5, 3), (1, 0, 8)\} \).
  • i) Trong \( \mathbb{R}^3 \), với hệ \( B = \{(1, 0, -1), (1, 2, 1), (0, -3, 2)\} \).
  • j) Trong \( \mathbb{R}^3 \), với hệ \( B = \{u_1 = (1, 2, 1), u_2 = (2, 3, 3), u_3 = (3, 7, 1)\} \).
  • k) Trong \( \mathbb{R}^3 \), với hệ \( B = \{u_1 = (1, 1, 1), u_2 = (0, 1, 1), u_3 = (0, 0, 1)\} \).
  • l) Trong \( \mathbb{R}^4 \), với hệ \( B = \{u_1 = (1, 0, 0, 0), u_2 = (1, 1, 0, 0), u_3 = (1, 1, 1, 0), u_4 = (1, 1, 1, 1)\} \).
Bài 2. Tìm một cơ sở và số chiều của các không gian con \( W \) sau đây:
  • a) \( W = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\} \)
  • b) \( W = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x = 2y\} \)
  • c) \( W = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x = y = z\} \)
  • d) \( W = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x - y = 0\} \)
  • e) \( W = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 2x - 3y = 0\} \)
  • f) \( W = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + 2y = 0, y - z = 0\} \)
  • g) \( W = \{(a, b, c) \in \mathbb{R}^3 \mid b = a + c\} \)
  • h) \( W = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x = 0\} \)
  • i) \( W = \{(x_1, x_2, x_3, x_4) \in \mathbb{R}^4 \mid x_1 + x_2 = 0, x_3 + x_4 = 0\} \)
  • j) \( W = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x - y = z - t = 0\} \)
  • k) \( W = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x = 2y, z = 3t\} \)
  • l) \( W = \{(x_1, x_2, x_3, x_4) \in \mathbb{R}^4 \mid x_1 - 2x_2 + 3x_3 - x_4 = 0\} \)
  • m) \( W = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0 \text{ và } x - y = 0\} \)
Bài 3. Tìm một cơ sở và số chiều của các không gian con được sinh bởi hệ vector sau:
  • a) \( W = \text{span}\{(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, -1)\} \).
  • b) \( W = \text{span}\{(1, 2, 3), (2, 4, 6)\} \).
  • c) \( W = \text{span}\{(1, 2, -1), (2, 4, -2), (0, 0, 0)\} \).
  • d) \( W = \text{span}\{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)\} \).

Bạn đã hoàn thành các bài tập? Tải lời giải về để đối chiếu nhé!

Lời giải tham khảo