Lý thuyết

Tọa độ của vector đối với cơ sở

Cho \( V \) là không gian vector \( n \)-chiều và \( E = \{e_1, e_2, \dots, e_n\} \) là một cơ sở của \( V \). Với mọi vector \( v \in V \), luôn tồn tại duy nhất bộ số \( (x_1, x_2, \dots, x_n) \) sao cho:

\( v = x_1e_1 + x_2e_2 + \dots + x_ne_n \)

Khi đó, bộ số \( (x_1, x_2, \dots, x_n) \) được gọi là tọa độ của vector \( v \) đối với cơ sở \( E \).

Ký hiệu:

\( [v]_{/E} = (x_1, x_2, \dots, x_n) \quad \text{hoặc} \quad [v]_{/E} = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \)

Ví dụ: Cho \( F = \{f_1 = (1, 1); f_2 = (1, 0)\} \) là cơ sở của \( \mathbb{R}^2 \) và \( x = (5, 3) \). Tìm tọa độ của \( x \) đối với cơ sở chính tắc \( E \) và cơ sở \( F \).

Lời giải

Ta có tọa độ của vector \( x \) theo cơ sở chính tắc \( E \):

\( x = (5, 3) = 5(1, 0) + 3(0, 1) = 5e_1 + 3e_2 \)

Vậy: \( (x)_{/E} = (5, 3) \)

Ta có tọa độ của vector \( x \) theo cơ sở \( F \):

\( x = (5, 3) = 3 \cdot (1, 1) + 2 \cdot (1, 0) = 3f_1 + 2f_2 \)

Vậy: \( (x)_{/F} = (3, 2) \)

Ví dụ: Cho \( F = \{f_1(t) = t^2 + 2t; f_2(t) = 3t - 1; f_3(t) = t^2 + 5\} \) là cơ sở của \( \mathcal{P}_2[t] \) và \( x(t) = 7t^2 + 3t + 21 \). Tìm tọa độ của \( x \) đối với cơ sở \( F \).

Lời giải

Ta có: \( x(t) = x_1 \cdot f_1(t) + x_2 \cdot f_2(t) + x_3 \cdot f_3(t) \)

\( \Leftrightarrow 7t^2 + 3t + 21 = x_1(t^2 + 2t) + x_2(3t - 1) + x_3(t^2 + 5) \)

\( \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 \quad \quad \quad \quad + x_3 = 7 \\ 2x_1 + 3x_2 \quad \quad \quad = 3 \\ \quad \quad \;\; -x_2 + 5x_3 = 21 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_1 = 3 \\ x_2 = -1 \\ x_3 = 4 \end{cases} \)

Vậy: \( (x)_{/F} = (3, -1, 4) \)

Nhận xét: Bản chất của việc tìm tọa độ của một vector đối với một cơ sở là xác định các hệ số trong biểu diễn tổ hợp tuyến tính của vector đó qua hệ cơ sở. Việc đồng nhất các thành phần sẽ thiết lập một hệ phương trình tuyến tính, trong đó nghiệm duy nhất của hệ chính là các thành phần tọa độ cần tìm.

Đổi cơ sở - Đổi tọa độ

1 Ma trận chuyển cơ sở

Cho \( V \) là không gian vector \( n \)-chiều. Xét hai cơ sở của \( V \):

Cơ sở cũ: \( E = \{e_1, e_2, \dots, e_n\} \)
Cơ sở mới: \( F = \{f_1, f_2, \dots, f_n\} \)

Một vector \( x \in V \) có tọa độ đối với cơ sở \( E \) và \( F \) lần lượt là \( [x]_{/E} \) và \( [x]_{/F} \).

Ma trận chuyển cơ sở từ \( E \) sang \( F \), ký hiệu là \( P \) (hoặc \( P_{E \to F} \)), là ma trận vuông cấp \( n \) được tạo thành bằng cách xếp các vector tọa độ của cơ sở mới \( F \) theo cơ sở cũ \( E \) thành các cột:

\( P = \left( [f_1]_{/E} \quad [f_2]_{/E} \quad \dots \quad [f_n]_{/E} \right) \)

2 Công thức đổi tọa độ

Khi đó, ta có công thức liên hệ giữa tọa độ của vector \( x \) trong hai cơ sở như sau:

\( [x]_{/E} = P \cdot [x]_{/F} \)

Trong đó:

\( [x]_{/E} \): Tọa độ của \( x \) trong cơ sở cũ (cột \( n \times 1 \)).
\( [x]_{/F} \): Tọa độ của \( x \) trong cơ sở mới (cột \( n \times 1 \)).
\( P \): Ma trận chuyển cơ sở từ \( E \) sang \( F \).

3 Phương pháp thiết lập ma trận chuyển cơ sở

Giả sử cần tìm ma trận chuyển cơ sở \( P \) từ cơ sở \( A = \{u_1, u_2, \dots, u_n\} \) sang cơ sở \( B = \{v_1, v_2, \dots, v_n\} \). Việc xác định ma trận \( P \) được thực hiện bằng cách dựa vào định nghĩa, cụ thể:

Biểu diễn từng vector \( v_j \) của cơ sở \( B \) dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector trong cơ sở \( A \):

\( \begin{cases} v_1 = a_{11}u_1 + a_{21}u_2 + \dots + a_{n1}u_n \\ v_2 = a_{12}u_1 + a_{22}u_2 + \dots + a_{n2}u_n \\ \dots \\ v_n = a_{1n}u_1 + a_{2n}u_2 + \dots + a_{nn}u_n \end{cases} \)

Khi đó, tọa độ của các vector trong cơ sở mới \( B \) đối với cơ sở cũ \( A \) chính là các vector cột:

\( [v_1]_{/A} = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{pmatrix} , \quad [v_2]_{/A} = \begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{n2} \end{pmatrix} , \quad \dots, \quad [v_n]_{/A} = \begin{pmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{nn} \end{pmatrix} \)

Ma trận \( P \) được lập bằng cách xếp trực tiếp các vector tọa độ này thành các cột tương ứng:

\( P = \left( [v_1]_{/A} \quad [v_2]_{/A} \quad \dots \quad [v_n]_{/A} \right) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} \)

Ví dụ: Trong \( \mathbb{R}^3 \), cho 2 cơ sở: \( E \) là cơ sở chính tắc và \( F = \{f_1 = (1, -1, 1); f_2 = (2, 3, 1); f_3 = (1, 2, 1)\} \). Tìm ma trận chuyển cơ sở từ \( E \) sang \( F \).

Lời giải

Từ cơ sở chính tắc \( E = \{e_1 = (1, 0, 0); e_2 = (0, 1, 0); e_3 = (0, 0, 1)\} \), ta biểu diễn các vector của \( F \) qua \( E \):

\( \begin{cases} f_1 = e_1 - e_2 + e_3 \\ f_2 = 2e_1 + 3e_2 + e_3 \\ f_3 = e_1 + 2e_2 + e_3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} [f_1]_{/E} = (1, -1, 1)^T \\ [f_2]_{/E} = (2, 3, 1)^T \\ [f_3]_{/E} = (1, 2, 1)^T \end{cases} \)

Do đó, ma trận chuyển cơ sở từ \( E \) sang \( F \) là:

\( P_{E \to F} = \left( [f_1]_{/E} \quad [f_2]_{/E} \quad [f_3]_{/E} \right) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

Nhận xét: Khi cơ sở xuất phát \( A \) (cơ sở cũ) là cơ sở chính tắc, tọa độ của một vector đối với \( A \) chính là các thành phần của vector đó. Do vậy, ta có thể bỏ qua bước giải hệ phương trình và trực tiếp xếp các thành phần của từng vector trong cơ sở mới \( B \) thành các cột tương ứng để lập thành ma trận chuyển cơ sở \( P \).

Sắp ra mắt

Video trực quan đang trong quá trình biên tập.
Hệ thống sẽ cập nhật trong thời gian tới.

Bài tập

Bài 1. Tìm tọa độ của vector \( v \) đối với cơ sở \( \mathcal{B} \) đã cho:

a) Trong \( \mathbb{R}^2 \), với \( \mathcal{B} = \{(1, 0), (0, 1)\} \) và \( v = (3, -5) \).
b) Trong \( \mathbb{R}^2 \), với \( \mathcal{B} = \{(1, 1), (1, -1)\} \) và \( v = (2, 4) \).
c) Trong \( \mathbb{R}^2 \), với \( \mathcal{B} = \{(2, 1), (-1, 0)\} \) và \( v = (1, 2) \).
d) Trong \( \mathbb{R}^2 \), với \( \mathcal{B} = \{(1, 2), (3, 4)\} \) và \( v = (5, 6) \).
e) Trong \( \mathbb{R}^3 \), với \( \mathcal{B} = \{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\} \) và \( v = (x, y, z) \).
f) Trong \( \mathbb{R}^3 \), với \( \mathcal{B} = \{(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)\} \) và \( v = (2, 3, 4) \).
g) Trong \( \mathbb{R}^3 \), với \( \mathcal{B} = \{(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)\} \) và \( v = (1, 2, 3) \).
h) Trong \( \mathbb{R}^3 \), với \( \mathcal{B} = \{(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)\} \) và \( v = (4, 2, 0) \).
i) Trong \( \mathbb{R}^3 \), với \( \mathcal{B} = \{(1, 2, 3), (2, 0, 1), (1, 1, 0)\} \) và \( v = (1, 1, 1) \).
j) Trong \( \mathbb{R}^3 \), với \( \mathcal{B} = \{(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)\} \) và \( v = (3, 5, 4) \).
k) Trong \( \mathbb{R}^3 \), với \( \mathcal{B} = \{(1, 2, -1), (0, 1, 1), (2, 0, 3)\} \) và \( v = (3, 3, 2) \).
l) Trong \( \mathbb{R}^4 \), với \( \mathcal{B} = \{e_1, e_2, e_3, e_4\} \) và \( v = (1, -1, 2, 0) \).
m) Trong \( \mathbb{R}^3 \), với \( \mathcal{B} = \{(1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3)\} \) và \( v = (2, 4, 6) \).

Bài 2. Trong không gian \( \mathbb{R}^2 \), hãy xác định vector \( v \) biết:

a) Cơ sở \( \mathcal{B} = \{u_1, u_2\} \) và tọa độ \( [v]_{\mathcal{B}} = (3, -2)^T \).
b) Cơ sở \( \mathcal{B} = \{(1, 1), (2, 3)\} \) và tọa độ \( [v]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \).

Bài 3. Thực hiện các yêu cầu sau:

a) Trong \( \mathcal{P}_2[x] \), cho \( \mathcal{B} = \{1, x, x^2\} \) và \( v = 2 + 3x - x^2 \). Tìm tọa độ \( [v]_{\mathcal{B}} \).
b) Trong \( \mathcal{P}_2[x] \), cho \( \mathcal{B} = \{1+x, x+x^2, 1+x^2\} \) và vector \( v = 2 + 4x + 2x^2 \). Tìm tọa độ \( [v]_{\mathcal{B}} \).
c) Trong \( \mathbb{R}^2 \), tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc \( \mathcal{B}_1 \) sang \( \mathcal{B}_2 = \{(1, 1), (1, 2)\} \).

Bài 4. Trong không gian đa thức \( \mathcal{P}_2[x] \), cho hệ vector \( \mathcal{B} = \{1, x - 1, (x - 1)^2\} \).

a) Chứng minh \( \mathcal{B} \) là một cơ sở của \( \mathcal{P}_2[x] \).
b) Tìm tọa độ của đa thức \( p(x) = 2x^2 - 5x + 6 \) đối với cơ sở \( \mathcal{B} \).

Bài 5. Trong \( \mathbb{R}^3 \), cho hệ vector \( u_1 = (m, 1, 1), u_2 = (1, m, 1), u_3 = (1, 1, m) \).

a) Tìm điều kiện của \( m \) để hệ \( \mathcal{B} = \{u_1, u_2, u_3\} \) là một cơ sở của \( \mathbb{R}^3 \).
b) Với \( m = 0 \), hãy tìm tọa độ của vector \( u = (1, 1, 1) \) đối với cơ sở \( \mathcal{B} \).

Bài 6. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở \( \mathcal{B} \) sang cơ sở \( \mathcal{B}' \) trong các trường hợp sau:

a) Trong \( \mathbb{R}^2 \), với \( \mathcal{B} = \{(-2, 5), (3, -7)\} \) và \( \mathcal{B}' = \{(1, -3), (-2, 7)\} \).
b) Trong \( \mathbb{R}^2 \), với \( \mathcal{B} = \{(5, 12), (2, 5)\} \) và \( \mathcal{B}' \) là cơ sở chính tắc.
c) Trong \( \mathbb{R}^3 \), với \( \mathcal{B} \) là cơ sở chính tắc và \( \mathcal{B}' = \{(2, 1, -1), (3, 2, 5), (1, -1, 4)\} \).
d) Trong \( \mathbb{R}^3 \), với \( \mathcal{B} = \{(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 4, 9)\} \) và \( \mathcal{B}' \) là cơ sở chính tắc.
e) Trong không gian đa thức \( \mathcal{P}_2[x] \), với \( \mathcal{B} = \{1, x, x^2\} \) và \( \mathcal{B}' = \{1, x - 2, (x - 2)^2\} \).
f) Trong \( \mathbb{R}^3 \), với \( \mathcal{B} = \{(2, -1, 0), (-1, 2, -1), (0, -1, 2)\} \) và \( \mathcal{B}' = \{(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)\} \).

Bài 7. Thực hiện các yêu cầu sau:

a) Trong \( \mathbb{R}^2 \), cho cơ sở \( \mathcal{B} = \{(3, -2), (4, -3)\} \). Tìm tọa độ của vector \( v = (10, -7) \) đối với cơ sở \( \mathcal{B} \).
b) Cho ma trận chuyển từ cơ sở \( \mathcal{B} \) sang cơ sở \( \mathcal{B}' \) là \( P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -7 & 3 \end{pmatrix} \). Tìm \( [v]_{\mathcal{B}} \) biết tọa độ của \( v \) đối với cơ sở \( \mathcal{B}' \) là \( [v]_{\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 4 \\ 9 \end{pmatrix} \).
c) Trong \( \mathbb{R}^3 \), cho hệ vector \( \{u_1, u_2, u_3\} \) là một cơ sở \( \mathcal{B} \). Một cơ sở mới \( \mathcal{B}' = \{v_1, v_2, v_3\} \) được xác định bởi:
\( \begin{cases} v_1 = 5u_1 - 2u_2 + u_3 \\ v_2 = 3u_1 + 4u_2 \\ v_3 = -u_1 + 7u_2 - 3u_3 \end{cases} \)
Tìm ma trận chuyển cơ sở từ \( \mathcal{B}' \) sang \( \mathcal{B} \).
d) Trong \( \mathbb{R}^3 \), biết tọa độ của vector \( x \) trong cơ sở \( \mathcal{B} = \{(1, 2, -3), (2, -1, 0), (4, 1, 5)\} \) là \( [x]_{\mathcal{B}} = (2, -3, 1)^T \). Hãy tìm tọa độ của vector \( x \) đối với cơ sở chính tắc.
e) Cho hai cơ sở trong \( \mathbb{R}^2 \): \( \mathcal{B} = \{u_1, u_2\} \) và \( \mathcal{B}' = \{v_1, v_2\} \). Biết rằng \( u_1 = 3v_1 - 5v_2 \) và \( u_2 = -2v_1 + 4v_2 \). Hãy tìm ma trận chuyển cơ sở \( P_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}} \).

Bạn đã hoàn thành các bài tập? Tải lời giải về để đối chiếu nhé!

Lời giải tham khảo