Lý thuyết

Hạng của hệ vector

1   Hệ con độc lập tuyến tính tối đại

Cho \( S \) là một tập hợp các vector thuộc không gian vector \( V \). Một hệ con \( W = \{v_1, v_2, \dots, v_k\} \subseteq S \) được xác định là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của \( S \) nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

  • i) \( W \) độc lập tuyến tính
  • ii) Khi bổ sung bất kỳ vector \( u \) nào thuộc \( S \) vào \( W \), hệ mới \( W \cup \{u\} \) trở thành hệ PTTT.
2   Hạng của hệ vector

Số lượng các vector thuộc một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ \( S \) được gọi là hạng của \( S \), ký hiệu là \( r(S) \) hoặc \( \text{rank}(S) \).

Ví dụ: Hạng của họ vector \( M \) bằng 5 hay \( r(M) = 5 \), có nghĩa là tồn tại 5 vector của \( M \) tạo thành tập hợp ĐLTT và mọi tập con của \( M \) chứa nhiều hơn 5 vector đều là tập PTTT. Từ đó, ta có các nhận xét sau:

  • i) Nếu ta chọn nhiều hơn 5 vector của \( M \), thì ta thu được một họ PTTT
  • ii) Nếu ta chọn đúng 5 vector của \( M \), thì tập hợp thu được có thể ĐLTT hoặc có thể PTTT.
  • iii) Trong \( M \) chắc chắn phải tồn tại một tập hợp con chứa 5 vector ĐLTT.

Hệ sinh

1   Không gian con sinh bởi một tập hợp

Cho \( S = \{v_1, v_2, \dots, v_k\} \) là một tập hợp các vector trong không gian vector \( V \). Không gian con sinh bởi \( S \) hay bao tuyến tính của \( S \), ký hiệu là \( \text{span}(S) \) hoặc \( \text{span}\{v_1, \dots, v_k\} \), là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vector trong \( S \).

\( \text{span}(S) = \{c_1v_1 + c_2v_2 + \dots + c_kv_k \mid c_1, c_2, \dots, c_k \in \mathbb{R}\} \)

Quy ước: Nếu \( S = \varnothing \) thì \( \text{span}(S) = \{\mathbf{0}\} \) và \( \text{span}(S) \) là không gian con nhỏ nhất của \( V \) chứa \( S \).

2   Hệ sinh của không gian vector

Cho \( V \) là một không gian vector và \( S = \{u_1, u_2, \dots, u_n\} \) là một họ vector thuộc \( V \). Nếu mọi \( u \in V \) đều có biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính:

\( u = c_1u_1 + c_2u_2 + \dots + c_nu_n \)

thì ta nói họ \( S \) sinh ra \( V \) hay \( S \) là một hệ sinh của \( V \). Ký hiệu: \( V = \text{span}(S) \).

Nếu không gian vector \( V \) sở hữu ít nhất một hệ sinh hữu hạn thì \( V \) được gọi là không gian hữu hạn sinh.

Nhận xét: Việc xác định một không gian là hữu hạn sinh rất quan trọng, vì nó cho phép chúng ta nghiên cứu toàn bộ cấu trúc không gian vô hạn chỉ thông qua một tập hợp hữu hạn các vector đại diện.

Ví dụ 1: Trong không gian vector \( \mathbb{R}^2 \), xét hệ vector \( E = \{e_1 = (1, 0); e_2 = (0, 1)\} \). Chứng minh rằng \( E \) là một hệ sinh của \( \mathbb{R}^2 \).

Lời giải: Thật vậy, với mọi vector \( x = (a, b) \in \mathbb{R}^2 \), ta luôn có:

\( x = (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = ae_1 + be_2 \)

Vì \( x \) luôn biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của \( e_1, e_2 \) nên \( E \) là hệ sinh của \( \mathbb{R}^2 \).

Ví dụ 2: Trong không gian vector \( \mathbb{R}^2 \), xét hệ vector \( E' = \{e_1 = (1, 0); e_2 = (0, 1); e_3 = (2, 5)\} \). Chứng minh rằng \( E' \) là một hệ sinh của \( \mathbb{R}^2 \).

Lời giải: Thật vậy, với mọi \( x = (a, b) \in \mathbb{R}^2 \), ta có thể biểu diễn:

\( x = (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) + 0(2, 5) = ae_1 + be_2 + 0e_3 \)

Do đó, \( E' \) là một hệ sinh của \( \mathbb{R}^2 \).

Nhận xét: Ở ví dụ 2, một hệ sinh có thể chứa các vector "dư thừa" (như \( e_3 \)) mà việc loại bỏ chúng vẫn không làm thay đổi không gian được sinh ra. Điều này đặt ra một câu hỏi quan trọng:

"Làm thế nào để tìm được một hệ sinh tiết kiệm nhất (chứa ít vector nhất) mà vẫn bao phủ được toàn bộ không gian?"

Hệ sinh "vừa đủ" đó chính là một hệ sinh đồng thời thỏa mãn sự độc lập tuyến tính. Đây là cầu nối dẫn dắt chúng ta đến với khái niệm quan trọng nhất của chương này là cơ sở của không gian vector.

Sắp ra mắt

Video trực quan đang trong quá trình biên tập.
Hệ thống sẽ cập nhật trong thời gian tới.

Bài tập

Bài 1. Tìm hạng của các hệ véc tơ sau:
  • a) \( u_1 = (2, 3, 5, 7), u_2 = (4, 1, 3, 2), u_3 = (8, 7, 13, 16), u_4 = (6, 4, 8, 9) \).
  • b) \( u_1 = (1, 1, 5, 7), u_2 = (6, 2, 2, 2), u_3 = (13, 1, 8, 17), u_4 = (0, 1, 1, 2) \).
Bài 2. Tìm \( m \) để hệ sau có hạng bằng 2:
  • a) \( u = (1, 3, 1), v = (1, m + 3, 3), w = (1, m + 6, m + 3) \).
  • b) \( u = (m, 1, 0, 2), v = (m, m + 1, -1, 2), w = (2m, m + 2, -1, 5) \).
  • c) \( u = (m, 1, 1), v = (1, m, 1), w = (1, 1, m) \).
Bài 3. Tìm hạng và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của các hệ sau:
  • a) \( \alpha_1 = (1, 0, -1, 0), \alpha_2 = (1, 2, 1, 1), \alpha_3 = (3, 2, 3, 2), \alpha_4 = (1, 1, 2, 1) \).
  • b) \( \alpha_1 = (1, 0, 0, -1), \alpha_2 = (2, 1, 1, 0), \alpha_3 = (1, 1, 1, 1), \alpha_4 = (1, 2, 3, 4), \alpha_5 = (0, 1, 2, 3) \).
  • c) \( \alpha_1 = (1, 2, 0, 1), \alpha_2 = (1, 1, 1, 0), \alpha_3 = (1, 0, 1, 0), \alpha_4 = (1, 3, 0, 1) \).
  • d) \( \alpha_1 = (1, 1, 1, 1), \alpha_2 = (1, 3, 1, 3), \alpha_3 = (1, 2, 0, 2), \alpha_4 = (1, 2, 1, 2), \alpha_5 = (3, 1, 3, 1) \).

Bài 4. Trong không gian \( \mathcal{P}_2[x] \), cho tập hợp con \( S = \{x^2 + 2x - 1; 2x^2 + x - 3; 5x^2 + x - 8; 4x^2 + mx + 1\} \). Tìm tất cả các giá trị thực của \( m \) để \( S \) là một hệ sinh của \( \mathcal{P}_2[x] \).

Bài 5. Trong \( \mathbb{R}^3 \), cho hai tập hợp con \( S_1 = \{(1; 2; -1), (2; 5; 1), (3; 7; m)\} \) và \( S_2 = \{(1; 3; 2), (5; 12; 1), (4; 7; m)\} \). Tìm \( m \) để \( S_1 \) và \( S_2 \) sinh ra cùng một không gian vector.

Bài 6. Trong không gian vector \( \mathcal{M}_2[\mathbb{R}] \), cho hệ vector sau:
\( S = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 1 & m \end{pmatrix} \right\} \)

Tìm tất cả các số thực \( m \) để \( S \) không là hệ sinh của \( \mathcal{M}_2[\mathbb{R}] \).

Bạn đã hoàn thành các bài tập? Tải lời giải về để đối chiếu nhé!

Lời giải tham khảo