Lý
thuyết
Ma trận nghịch đảo
1 Định nghĩa
Cho \( A \) là ma trận vuông cấp \( n \), ma trận \( A \) gọi là ma trận khả
nghịch nếu tồn tại ma trận \( B \) vuông cấp \( n \) sao cho:
\( AB = BA = I_n \quad (I_n \text{ là ma trận đơn vị cấp } n) \)
Nếu \( A \) là ma trận khả nghịch thì ma trận \( B \) thỏa điều kiện trên là duy nhất và \( B \)
được gọi là ma trận nghịch đảo (ma trận ngược) của ma trận \( A \), ký hiệu là
\( A^{-1} \). Như vậy, ta có:
\( A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n \)
Lưu ý: Ta nhấn mạnh rằng tính khả nghịch
chỉ có nghĩa đối với ma trận vuông. Tuy nhiên không phải ma trận vuông nào cũng khả nghịch. Tập
hợp các ma trận vuông khả nghịch cấp \( n \) trên \( \mathbb{R} \) được kí hiệu là \(
GL_n(\mathbb{R}) \).
Các tính chất quan trọng:
2 Ma trận phụ hợp
Cho \( A \) là ma trận vuông cấp \( n \). Ma trận phụ hợp của \( A \), ký hiệu \( P_A \) được
định nghĩa như sau:
\( P_A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn} \end{pmatrix} \)
trong đó \( A_{ij} \) là phần bù đại số của phần tử \( a_{ij} \) của ma trận \( A \).
Lưu ý: Ma trận phụ hợp được thiết lập từ
các phần bù đại số \( (A_{ij}) \), nhưng được sắp xếp theo vị trí
chuyển vị (hàng thành cột). Cụ thể, nếu gọi \( A_{ij} \) là phần bù đại số của
phần tử hàng \( i \), cột \( j \) trong ma trận gốc, thì ma trận phụ hợp \( P_A \) có dạng:
\( P_A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \dots & A_{nn} \end{pmatrix}^T =
\begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2} \\ \vdots &
\vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn} \end{pmatrix} \)
Ví dụ: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận \( A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\ -2 & 4 & 0 \\ 4 & -5 & 7 \end{pmatrix} \)
Lời giải
Ta có: \( A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ -5 & 7 \end{vmatrix} = 28 \)
Tương tự, ta có:
• \( A_{12} = 14 \)
• \( A_{21} = -29 \)
• \( A_{23} = 13 \)
• \( A_{32} = -6 \)
• \( A_{13} = -6 \)
• \( A_{22} = -5 \)
• \( A_{31} = -12 \)
• \( A_{33} = 8 \)
Suy ra:
\( P_A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} &
A_{23} & A_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 28 & -29 & -12 \\ 14 & -5 & -6 \\ -6 & 13 &
8 \end{pmatrix} \)
Nhận xét: Một ma trận
vuông khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác không. Khi đó ta có công thức:
\( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot P_A \)
3 Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương
pháp Gauss
Để tìm ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông \( A \) cấp \( n \), ta lập mở trận mở rộng (hay
bổ sung) bằng cách thêm ma trận đơn vị cùng cấp vào bên phải ma trận \( A \), ký hiệu là \( [A
\mid I_n] \). Sau đó, thực hiện các phép biến đổi sơ cấp để đưa về dạng \( [I_n \mid A^{-1}] \):
\( [A \mid I_n] \xrightarrow{\text{Biến đổi sơ cấp}} [I_n \mid A^{-1}] \)
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận \( A \) sau đây: \(
A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \\ 4 & 5 & 0 \end{pmatrix} \)
Lời giải
Cách 1: Dùng ma trận phụ hợp
Ta có:
\( A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \\ 4 & 5 & 0 \end{pmatrix}
\Rightarrow \det A = \begin{vmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \\ 4 & 5 & 0
\end{vmatrix} = 7 \neq 0 \)
Suy ra \( A \) khả nghịch.
Ta có:
1. \( c_{11} = \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = 5 \)
4. \( c_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = 15 \)
7. \( c_{31} = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -2 \)
2. \( c_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} = -4 \)
5. \( c_{22} = \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} = -12 \)
8. \( c_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 3 \)
3. \( c_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = 5 \)
6. \( c_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = 8 \)
9. \( c_{33} = \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -2 \)
Thiết lập ma trận phụ hợp \( C = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} &
c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 5
\\ 15 & -12 & 8 \\ -2 & 3 & -2 \end{pmatrix} \)
Suy ra \( A^{-1} = \frac{1}{detA} \cdot C^T = \frac{1}{7} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 15 &
-2 \\ -4 & -12 & 3 \\ 5 & 8 & -2 \end{pmatrix} \quad \text{Vậy } A^{-1} = \frac{1}{7}
\cdot \begin{pmatrix} 5 & 15 & -2 \\ -4 & -12 & 3 \\ 5 & 8 & -2 \end{pmatrix} \)
Cách 2: Dùng phương pháp khử Gauss
Xét ma trận mở rộng
\( A \mid I_3 = \left( \begin{array}{ccc|ccc} 0 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 &
1 & 0 \\ 4 & 5 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \xrightarrow{h_2 \leftrightarrow h_1}
\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 5 &
0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \)
\( \xrightarrow{h_3 = h_3 - 4h_1} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0
\\ 0 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 4 & 0 & -4 & 1 \end{array} \right) \xrightarrow{h_2
= \frac{1}{2}h_2} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 &
\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 4 & 0 & -4 & 1 \end{array} \right) \)
\( \xrightarrow{h_3 = h_3 - 5h_2} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0
\\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{7}{2} & -\frac{5}{2} & -4
& 1 \end{array} \right) \xrightarrow{h_3 = -\frac{2}{7}h_3} \left(
\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 &
0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{5}{7} & \frac{8}{7} & -\frac{2}{7} \end{array} \right) \)
\( \xrightarrow[h_2 = h_2 - \frac{3}{2}h_3]{h_1 = h_1 + h_3} \left(
\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \frac{5}{7} & \frac{15}{7} & -\frac{2}{7} \\ 0 & 1 &
0 & -\frac{4}{7} & -\frac{12}{7} & \frac{3}{7} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{5}{7} & \frac{8}{7}
& -\frac{2}{7} \end{array} \right) = I_3 \mid A^{-1} \)
\( \text{Vậy } A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{5}{7} & \frac{15}{7} & -\frac{2}{7} \\
-\frac{4}{7} & -\frac{12}{7} & \frac{3}{7} \\ \frac{5}{7} & \frac{8}{7} & -\frac{2}{7}
\end{pmatrix} \)