Lý thuyết

Ma trận và các khái niệm
1   Định nghĩa

Một ma trận cấp \( m \times n \) là một bảng gồm \( m.n \) số \( a_{ij} \) được sắp xếp thành \( m \) hàng và \( n \) cột có dạng:

\( A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} \)

Ma trận trên được ký hiệu bởi \( A = [a_{ij}]_{m \times n} \) hay \( A = (a_{ij})_{m \times n} \)

Phần tử \( a_{ij} \) là phần tử ở dòng \( i \) và cột \( j \) của ma trận \( A \). Trong đó \( i \) là chỉ số hàng, \( j \) là chỉ số cột của phần tử \( a_{ij} \) đó.

Hai ma trận được xem là bằng nhau nếu chúng cùng cấp và mọi phần tử tương ứng đều bằng nhau.

Ví dụ: Ma trận \( H = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 6 \end{pmatrix} \) là ma trận cấp \( 2 \times 3 \), ở đây \( a_{13} = 6 \), \( a_{21} = 2 \).
2   Các loại ma trận đặc biệt
2.1   Ma trận vuông

Là ma trận có số dòng \( m \) bằng số cột \( n \), khi đó thay vì nói ma trận cấp \( n \times n \) ta chỉ nói đó là ma trận vuông cấp \( n \).

Ví dụ: Ma trận \( L = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} \) là ma trận vuông cấp 2.

Trong ma trận vuông cấp \( n \), người ta gọi các phần tử \( a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn} \) là các phần tử thuộc đường chéo chính của ma trận.

2.2   Ma trận đơn vị

Là ma trận vuông có tất cả các phần tử thuộc đường chéo chính đều bằng 1, các phần tử còn lại đều bằng 0, kí hiệu là \( I_n \) hay chỉ đơn giản là \( I \) khi cấp đã được chỉ rõ. Cũng có khi ký hiệu ma trận đơn vị là \( E_n \) hay \( E \).

Ví dụ: Ma trận \( I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ; \quad E_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) là các ma trận đơn vị cấp 2, cấp 3.
2.3   Ma trận tam giác

Là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm phía dưới hoặc phía trên đường chéo chính đều bằng 0.

1. Ma trận tam giác trên: Các phần tử nằm phía dưới đường chéo chính đều bằng 0.

Ví dụ: Ma trận \( M = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 9 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) là ma trận tam giác trên.

2. Ma trận tam giác dưới: Các phần tử nằm phía trên đường chéo chính đều bằng 0.

Ví dụ: Ma trận \( N = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 7 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 7 & 2 \end{pmatrix} \) là ma trận tam giác dưới.
2.4   Ma trận chéo

Là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0.

Ví dụ: Ma trận \( P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) là ma trận chéo.
2.5   Ma trận cột

Là ma trận chỉ có một cột.

Ví dụ: Ma trận \( A = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} \) là ma trận có 3 hàng và 1 cột.
2.6   Ma trận hàng

Là ma trận chỉ có một hàng.

Ví dụ: Ma trận \( B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 7 \end{pmatrix} \) là ma trận có 1 hàng và 3 cột.
2.7   Ma trận không

Là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0, kí hiệu là \( O_{m \times n} \) hay đơn giản là \( O \) khi cấp đã được chỉ rõ.

Ví dụ: Ma trận \( O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) là ma trận không cấp 2.
3   Các phép toán trên ma trận
3.1   Phép cộng hai ma trận

Xét hai ma trận cùng cấp \( A = (a_{ij})_{m \times n} \) và \( B = (b_{ij})_{m \times n} \), ta có tổng hai ma trận \( A \) và \( B \) được xác định bởi: \( A + B = (c_{ij})_{m \times n} \) với \( c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \). Trong đó \( i = \overline{1, m}, j = \overline{1, n} \)

Ví dụ: Cho 2 ma trận \( A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 7 \\ 0 & 3 & 5 \end{pmatrix} ; \quad B = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} \quad \) Khi đó:
\( A + B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 7 \\ 0 & 3 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 5 & 10 \\ 1 & 3 & 8 \\ 3 & 7 & 10 \end{pmatrix} \)

Ta định nghĩa tương tự với phép trừ hai ma trận. Lưu ý, \( A - B = A + (-1) \cdot B \). Ở phép biến đổi này xuất hiện \( (-1) \cdot B \), ta định nghĩa phép nhân một số với ma trận sau đây:

3.2   Phép nhân số thực với ma trận

Xét số thực \( \lambda \in \mathbb{R} \) và ma trận \( A = (a_{ij})_{m \times n} \). Tích của \( \lambda \) ma trận \( A \) được xác định bởi: \( \lambda \cdot A = (b_{ij})_{m \times n} \) với \( b_{ij} = \lambda \cdot a_{ij} \). Trong đó \( i = \overline{1, m}, j = \overline{1, n} \)

Ví dụ: Cho \( \lambda = 2 \) và \( A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 7 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \) Khi đó: \( \lambda \cdot A = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 & 2 & 7 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 14 \\ 4 & 6 & 8 \end{pmatrix} \)
3.3   Phép nhân hai ma trận

Xét hai ma trận \( A = (a_{ij})_{m \times n} \) và \( B = (b_{ij})_{n \times p} \), ta có tích hai ma trận \( A \) và \( B \) được xác định bởi: \( A \cdot B = (c_{ik})_{m \times p} \) với \( c_{ik} = \sum_{j=1}^{k} a_{ij}b_{jk} \). Trong đó \( i = \overline{1, m}, k = \overline{1, p} \)

Ví dụ: Cho 2 ma trận \( A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 2 \end{pmatrix}_{2 \times 3} ; \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}_{3 \times 2} \quad \) Khi đó:
\( AB = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix} \) là ma trận vuông cấp 2. Ta tính các phần tử của \( AB \).

• \( c_{11} = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-1) + 3 \cdot 4 = 16 \)

• \( c_{12} = 1 \cdot 3 + (-2) \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 7 \)

• \( c_{21} = 4 \cdot 2 + 0 \cdot (-1) + 2 \cdot 4 = 16 \)

• \( c_{22} = 4 \cdot 3 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 16 \)

Vậy \( AB = \begin{pmatrix} 16 & 7 \\ 16 & 16 \end{pmatrix} \)

Lưu ý:

  • i) Hai ma trận chỉ nhân được với nhau khi số cột của ma trận đầu bằng số hàng của ma trận hai.
  • ii) Muốn tìm phần tử ở dòng \( i \), cột \( j \) của ma trận tích \( A \cdot B \), ta nhân các phần tử ở hàng \( i \) của ma trận \( A \) lần lượt với các phần tử ở cột \( j \) của ma trận \( B \) rồi cộng các tích đó lại.
  • iii) Phép nhân 2 ma trận không có tính giao hoán hay \( AB \neq BA \).
Ví dụ: Cho 2 ma trận \( A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \) và \( B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \). Khi đó:
\( AB = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & -1 \\ 23 & -5 \end{pmatrix} \)
\( BA = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 10 \\ 4 & 16 \end{pmatrix} \)
3.4   Phép chuyển vị ma trận

Cho ma trận \( A = (a_{ij})_{m \times n} \). Ma trận thu được từ \( A \) bằng cách viết các hàng của \( A \) lần lượt thành các cột được gọi là ma trận chuyển vị của \( A \) và kí hiệu là \( A^t \) hoặc \( A^T \). Khi đó, \( A^T \) là ma trận cấp \( n \times m \).

Ví dụ: Cho ma trận \( A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 7 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \quad \) Khi đó: \( A^T = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 3 \\ 7 & 4 \end{pmatrix} \)

Lưu ý:

  • i) Ta có \( (A^T)^T = A \), tức là sau 2 lần chuyển vị ta lại trở về ma trận ban đầu.
  • ii) Khi \( A = A^T \) thì \( A \) được gọi là ma trận đối xứng.
Ví dụ: Cho ma trận \( A = A^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 5 \\ 3 & 5 & 1 \end{pmatrix} \) Lúc này \( A \) là ma trận đối xứng
  • iii) Khi \( A = -A^T \) thì \( A \) được gọi là ma trận phản đối xứng.
Ví dụ: Cho ma trận \( A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 4 \\ -1 & 0 & -3 \\ -4 & 3 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow A^T = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -4 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & -3 & 0 \end{pmatrix} = -A \)

Suy ra \( A \) là ma trận phản đối xứng

Các tính chất quan trọng:

i) \( (A + B)^T = A^T + B^T \) ii) \( (kA)^T = k.A^T \) với \( k \in \mathbb{R} \) iii) \( (AB)^T = B^T.A^T \)
3.5   Phép nâng lũy thừa ma trận vuông

Khi \( A \) là một ma trận vuông, ta có thêm phép toán lũy thừa. Cụ thể, lũy thừa bậc \( n \) (\( n \) nguyên dương) của \( A \) là ma trận tích từ \( n \) ma trận \( A \), nghĩa là

\( A^n = A \cdot A \cdot \dots \cdot A \quad \text{(n lần)}. \)

Tương tự như lũy thừa của các số thực, ta quy ước \( A^0 = I \), trong đó \( A \) là ma trận vuông cấp bất kỳ và \( I \) là ma trận đơn vị cùng cấp với \( A \).

Ví dụ: Cho ma trận \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \quad \) Khi đó:
\( A^0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ; \quad A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} ; \quad A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 26 \\ 0 & 27 \end{pmatrix} ; \quad A^n = \begin{pmatrix} 1 & 3^n - 1 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix} ; \quad n \in \mathbb{N}^* \)

Lưu ý: Ta thường thử vài trường hợp đầu tiên để dự đoán công thức tổng quát của ma trận lũy thừa bậc \( n \), sau đó dùng phương pháp quy nạp để chứng minh tính đúng đắn của công thức.

3.6   Đa thức của ma trận

Cho đa thức \( P_n(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n \) và ma trận vuông \( A = (a_{ij})_n \). Khi đó:

\( P_n(A) = a_0A^n + a_1A^{n-1} + \dots + a_nI_n \)

Trong đó \( I \) là ma trận đơn vị cùng cấp với ma trận \( A \)

Ví dụ: Cho ma trận \( A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & -4 & 1 \\ 3 & -5 & 3 \end{pmatrix} \) và hàm số \( f(x) = 3x^2 - 2x - 5 \). Tính \( f(A) \) Lời giải

Ta có:

\( \begin{aligned} f(A) &= 3A^2 - 2A - 5I_3 \\ &= 3 \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & -4 & 1 \\ 3 & -5 & 3 \end{pmatrix}^2 - 2 \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & -4 & 1 \\ 3 & -5 & 3 \end{pmatrix} - 5 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 18 & -27 & 30 \\ -9 & 21 & 15 \\ 6 & -3 & 39 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & -4 & 6 \\ 4 & -8 & 2 \\ 6 & -10 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 & -23 & 24 \\ -13 & 24 & 13 \\ 0 & 7 & 28 \end{pmatrix} \end{aligned} \)

Vậy \( f(A) = \begin{pmatrix} 11 & -23 & 24 \\ -13 & 24 & 13 \\ 0 & 7 & 28 \end{pmatrix} \)

Sắp ra mắt

Video trực quan đang trong quá trình biên tập.
Hệ thống sẽ cập nhật trong thời gian tới.

Bài tập

Bài 1. Cho \( A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}; \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}; \quad C = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \) Yêu cầu tính:

a) \( (A + B) + C \)
c) \( 3A \)
d) \( A^T, B^T, C^T \)

Bài 2. Cho \( A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 6 \\ 2 & 4 & -1 \\ 3 & 7 & 8 \end{pmatrix} \) Lập ma trận \( (4A + 3A^T) \)

Bài 3. Cho \( A = \begin{pmatrix} 3 & 5 & -3 \\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix}; \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & 6 \\ -1 & 2 & 8 \end{pmatrix} \) Thực hiện các phép tính sau:

a) \( AB \)
b) \( AA^T \)
c) \( A^TA \)
d) \( BA^T \)

Bài 4. Cho \( A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -2 \end{pmatrix}; \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}; \quad C = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \) Yêu cầu tính:

a) \( A + BC \)
b) \( A^TB - C \)
c) \( A(BC) \)
d) \( (A+3B)(A-C) \)

Bài 5. Cho \( A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & -4 & 1 \\ 3 & -5 & 3 \end{pmatrix} \) và hàm số \( f(x) = 3x^2 - 2x - 5 \). Tính \( f(A) \)

Bài 6. Tìm ma trận \( X \) thỏa mãn:

a) \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} + 2X = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} \)
b) \( \frac{1}{2}X - \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 3 & -4 & 1 \\ 2 & -5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 5 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -6 & 6 \\ -2 & 9 & 2 \\ -4 & -8 & 6 \end{pmatrix} \)

Bài 7. Cho hai ma trận: \( A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 4 & 2 & -3 \\ 5 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}; \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 & 4 \\ 6 & 1 & 2 & -1 \\ -2 & 8 & 1 & -3 \end{pmatrix} \)

  • a) Lập các ma trận \( A + B, A - B, 2A + 5B, 3A - B \).
  • b) Tìm ma trận \( X \) sao cho: \( 3(X + 2A + B) = X + 7A - 2B \).

Bài 8. Thực hiện các phép tính lũy thừa sau:

a) \( \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}^3 \)
b) \( \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -4 & -2 \end{pmatrix}^5 \)
c) \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & -2 \\ 5 & 4 & 3 \end{pmatrix}^2 \)
d) \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^3 \)
e) \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}^{10} \)
f) \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^n \)

Bạn đã hoàn thành các bài tập? Tải lời giải về để đối chiếu nhé!

Lời giải tham khảo