Lý thuyết

Cho 1 tập hợp \( V \neq \varnothing \) và một trường số \( \mathbb{K} \) (ở đây chỉ xét \( \mathbb{K} = \mathbb{R} \)). Trong \( V \) xác định hai phép toán dưới dạng ánh xạ:

1. Phép cộng hai vector
   \( V \times V \longrightarrow V \)
   \( (u, v) \longmapsto u + v \)
2. Phép nhân vector với vô hướng
   \( \mathbb{K} \times V \longrightarrow V \)
   \( (k, v) \longmapsto k \cdot v \)

Khi đó, \( V \) cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian vector trên \( \mathbb{K} \) hay \( \mathbb{K}- \) không gian vector nếu thỏa mãn 8 tiên đề sau:

Nhóm tiên đề phép cộng	Nhóm tiên đề phép nhân
1. \( u + v = v + u \)	5. \( \alpha(u + v) = \alpha u + \alpha v \)
2. \( (u + v) + w = u + (v + w) \)	6. \( (\alpha + \beta)u = \alpha u + \beta u \)
3. \( u + 0_V = u \)	7. \( (\alpha \beta)u = \alpha(\beta u) \)
4. \( u + (-u) = 0_V \)	8. \( 1 \cdot u = u \)

Lúc này, ta gọi:

• Mỗi phần tử \( v \in V \) là một vector
• Mỗi số thực \( k \in \mathbb{R} \) là một vô hướng
• Vector \( 0_V \) là vector không hay phần tử trung hòa của không gian vector \( V \)
• Vector \( -v \) là vector đối của \( v \)

Nhận xét: Một không gian vector bao gồm bốn thành phần: tập hợp các vector, tập hợp các vô hướng và hai phép toán.

• \( \mathbb{R} = \) Không gian thực 1 chiều hay tập hợp tất cả các số thực
• \( \mathbb{R}^2 = \) Không gian thực 2 chiều (2D) hay tập hợp các cặp số thực dưới dạng \( (x, y) \)
• \( \mathbb{R}^3 = \) Không gian thực 3 chiều (3D) hay tập hợp bộ 3 số thực dưới dạng \( (x, y, z) \)
• \( \mathbb{R}^n = \) Không gian thực \( n \) chiều tập hợp bộ \( n \) số thực dưới dạng \( (x_1, x_2, \dots, x_n) \)
• \( C(-\infty, \infty) = \) Tập hợp tất cả các hàm số liên tục xác định trên trục số thực
• \( C[a, b] = \) Tập hợp tất cả các hàm số liên tục xác định trên khoảng đóng \( [a, b] \)
• \( P = \) Tập hợp tất cả các đa thức
• \( P_n = \) Tập hợp tất cả các đa thức bậc không vượt quá \( n \)
• \( \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R}) = \) Tập hợp tất cả các ma trận thực cỡ \( m \times n \). Viết gọn là \( \mathcal{M}_{m,n} \)
• \( \mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{R}) = \) Tập hợp tất cả các ma trận vuông hệ số thực cấp \( n \). Viết gọn là \( \mathcal{M}_{n} \)

Nhận xét: Không gian vector \( V \) có thể là bất cứ tập hợp nào thỏa mãn 2 phép toán cộng 2 vector và nhân vô hướng cùng với 8 tiên đề ràng buộc.

Ví dụ:

1. Khi \( V \equiv \mathbb{R}^3 \), một vector \( v \in V \) lúc này là một bộ 3 số có dạng \( v = (x, y, z) \)
2. Khi \( V \equiv P_2[x] \), một vector \( v \in V \) lúc này là một đa thức bậc không quá 2 có dạng \( v = ax^2 + bx + c \)
3. Khi \( V \equiv \mathcal{M}_3 \), một vector \( v \in V \) lúc này là một ma trận vuông cấp 3 có dạng \( v = \begin{pmatrix} v_{11} & v_{12} & v_{13} \\ v_{21} & v_{22} & v_{23} \\ v_{31} & v_{32} & v_{33} \end{pmatrix} \)

Lời giải

Ta kiểm tra 8 tiên đề sau đây với \( u = (x_1, x_2), v = (y_1, y_2), w = (z_1, z_2) \in V \) và \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \):

1. Tính giao hoán:
   \( u + v = (x_1 + y_1, x_2 + y_2) = (y_1 + x_1, y_2 + x_2) = v + u \).   (Thỏa mãn)
2. Tính kết hợp:
   \( (u + v) + w = (x_1 + y_1 + z_1, x_2 + y_2 + z_2) = u + (v + w) \).   (Thỏa mãn)
3. Phần tử trung hòa:
   \( \exists 0_V = (0, 0) \in V \) sao cho \( u + 0_V = (x_1 + 0, x_2 + 0) = (x_1, x_2) = u \).   (Thỏa mãn)
4. Phần tử đối:
   \( \forall u = (x_1, x_2), \exists -u = (-x_1, -x_2) \in V \) sao cho \( u + (-u) = (0, 0) = 0_V \).   (Thỏa mãn)
5. Tính phân phối 1:
   \( \alpha(u + v) = \alpha(x_1 + y_1, x_2 + y_2) = (\alpha x_1 + \alpha y_1, \alpha x_2 + \alpha y_2) = \alpha u + \alpha v \).   (Thỏa mãn)
6. Tính phân phối 2:
   \( (\alpha + \beta)u = ((\alpha + \beta)x_1, (\alpha + \beta)x_2) = (\alpha x_1 + \beta x_1, \alpha x_2 + \beta x_2) = \alpha u + \beta u \).   (Thỏa mãn)
7. Tính kết hợp với vô hướng:
   \( (\alpha \beta)u = ((\alpha \beta)x_1, (\alpha \beta)x_2) = \alpha(\beta x_1, \beta x_2) = \alpha(\beta(x_1, x_2)) = \alpha(\beta u) \).   (Thỏa mãn)
8. Phần tử đơn vị:
   \( 1 \cdot u = (1 \cdot x_1, 1 \cdot x_2) = (x_1, x_2) = u \).   (Thỏa mãn)

Vì thỏa mãn đầy đủ 8 tiên đề, \( V = \mathbb{R}^2 \) là một không gian vector.

Một tập con \( W \) của một không gian vector \( V \) được gọi là một không gian con của \( V \) nếu \( W \) là một không gian vector dưới các phép tính cộng và nhân vô hướng được xác định trong \( V \). Nghĩa là \( W \) phải thỏa mãn 3 điều kiện sau:

1. \( W \neq \varnothing \)           (Tập con khác rỗng)
2. \( \forall u, v \in W \Rightarrow u + v \in W \)      (Đóng kín với phép cộng)
3. \( \forall u \in W, \forall \alpha \in \mathbb{K} \Rightarrow \alpha u \in W \)      (Đóng kín với phép nhân vô hướng)

Để kiểm tra xem \( W \) có là một không gian con của một không gian vector \( V \) hay không, ta kiểm tra tính đúng đắn của 3 mệnh đề sau:

1. Nếu \( W \) là một không gian con của \( V \) thì cả \( W \) và \( V \) phải có cùng vector 0.
2. Nếu \( u \) và \( v \) thuộc \( W \) khi đó \( u + v \) cũng thuộc \( W \).
3. Nếu \( u \) thuộc \( W \) và \( k \) là vô hướng bất kì, khi đó \( k \cdot u \) cũng thuộc \( W \).

Lời giải

Để \( W \) là một không gian con của \( \mathbb{R}^3 \), tập \( W \) phải thỏa mãn 3 điều kiện sau:

1. \( W \) chứa vector không (\( W \neq \varnothing \))
   Xét vector không \( 0_{\mathbb{R}^3} = (0, 0, 0) \). Thay \( 0_{\mathbb{R}^3} \) vào \( W \), ta có:
   
   \( 0 = 2 \cdot 0 \Rightarrow 0_{\mathbb{R}^3} \in W \).   Vậy \( W \neq \varnothing \)
2. Đóng kín với phép cộng
   Lấy hai vector bất kỳ \( u = (x_1, x_2, x_3) \in W \) và \( v = (y_1, y_2, y_3) \in W \).
   Theo đề bài, ta có: \( x_1 = 2x_2 \) và \( y_1 = 2y_2 \).
   Xét tổng \( u + v = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3) \). Thay \( u + v \) vào \( W \), ta có:
   
   \( x_1 + y_1 = 2x_2 + 2y_2 = 2(x_2 + y_2) \Rightarrow u + v \in W \quad (\text{Thỏa mãn}) \)
3. Đóng kín với phép nhân vô hướng
   Lấy vector bất kỳ \( u = (x_1, x_2, x_3) \in W \) và một vô hướng \( k \in \mathbb{R} \).
   Xét \( k \cdot u = (kx_1, kx_2, kx_3) \). Thay \( k \cdot u \) vào \( W \), ta có:
   
   \( kx_1 = k(2x_2) = 2(kx_2) \Rightarrow k \cdot u \in W \quad (\text{Thỏa mãn}) \)

Vì \( W \) thỏa mãn cả 3 điều kiện trên nên \( W \) là một không gian vector con của \( \mathbb{R}^3 \).

Lời giải

Để \( W \) là một không gian con của \( \mathbb{R}^3 \), tập \( W \) phải thỏa mãn 3 điều kiện sau:

1. \( W \) chứa vector không (\( W \neq \varnothing \))
   Xét vector không \( 0_{\mathbb{R}^3} = (0, 0, 0) \). Thay \( 0_{\mathbb{R}^3} \) vào \( W \) (\( x_3 = x_1 x_2 \)), ta có:
   
   \( 0 = 0 \cdot 0 \Rightarrow 0_{\mathbb{R}^3} \in W \).   Vậy \( W \neq \varnothing \)
2. Đóng kín với phép cộng
   Lấy hai vector bất kỳ \( u = (x_1, x_2, x_3) \in W \) và \( v = (y_1, y_2, y_3) \in W \).
   Theo đề bài, các thành phần phải thỏa mãn: \( x_3 = x_1 x_2 \) và \( y_3 = y_1 y_2 \).
   Xét tổng \( u + v = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3) \). Thay \( u + v \) vào điều kiện của \( W \), ta cần kiểm tra xem thành phần thứ 3 có bằng tích hai thành phần đầu hay không:
   
   \((x_1 + y_1)(x_2 + y_2) = x_1 x_2 + x_1 y_2 + x_2 y_1 + y_1 y_2 \)
   Ta thấy:
   
   \( x_1 x_2 + y_1 y_2 \neq x_1 x_2 + x_1 y_2 + x_2 y_1 + y_1 y_2 \quad (= x_3 + y_3) \)
   \( \Rightarrow u + v \notin W \quad (\text{Không thỏa mãn}) \)

Vì \( W \) vi phạm điều kiện đóng kín với phép cộng nên \( W \) không là một không gian vector con của \( \mathbb{R}^3 \).

Video trực quan

Bài tập

Nhận xét: Một tập con trong \( \mathbb{R}^n \) định nghĩa bởi các phương trình/hệ phương trình sẽ là không gian con nếu tất cả các phương trình đó là bậc nhất và thuần nhất (vế phải bằng 0).